Continuous Mesh Model and Well-Posed Continuous Interpolation Error Estimation

In the context of mesh adaptation, Riemannian metric spaces have been used to prescribe orientation, density and stretching of anisotropic meshes. Such structures are used to compute lengths in adaptive mesh generators. In this report, a Riemannian metric space is shown to be more than a way to compute a distance. It is proven to be a reliable continuous mesh model. In particular, we demonstrate that the linear interpolation error can be derived continuously for a continuous mesh. In its tangent space, a Riemannian metric space reduces to a constant metric tensor so that it simply spans a metric space. Metric tensors are then used to continuously model discrete elements. On this basis, geometric invariants have been extracted. They connect a metric tensor to the set of all the discrete elements which can be represented by this metric. As the behavior of a Riemannian metric space is obtained by patching together the behavior of each of its tangent spaces, the global mesh model arises from gathering together continuous element models. We complete the continuous-discrete analogy by providing a continuous interpolation error estimate and a well-posed definition of the continuous linear interpolate. The later is based on an exact relation connecting the discrete error to the continuous one. From one hand, this new continuous framework freed the analysis of the topological mesh constraints. On the other hand, powerful mathematical tools are available and well defined on the space of continuous meshes: calculus of variations, differentiation, optimization, . . . , whereas these tools are not defined on the space of discrete meshes. Key-words: Unstructured mesh, continuous mesh, Riemannian metric space, interpolation error, linear interpolate. ∗ Email : [email protected] † Email : [email protected] in ria -0 03 70 23 5, v er si on 1 24 M ar 2 00 9 Modèle continu de maillage et erreur d’interpolation continue bien posée Résumé : Les espaces métriques riemanniens sont classiquement utilisés en adaptation de maillage dans le but de prescrire l’orientation, les étirements et la densité des maillages anisotropes. Ils définissent alors le calcul des distances dans les mailleurs adaptatifs. Dans ce rapport, on montre, au-delà de la simple définition du calcul des distances, qu’un espace métrique riemannien est un modèle continu de maillage. On montre que ce modèle est bien posé sur le plan théorique. En particulier, on démontre qu’il est possible de dériver de façon continue l’erreur d’interpolation linéaire. Localement, ces espaces se comportent dans leurs plans tangents comme des espaces métriques euclidiens. On utilise ces derniers pour modéliser les éléments discrets. À partir de cette modélisation, on montre qu’il existe un ensemble d’invariants géométriques qui lient la métrique aux éléments discrets qu’elle représente. Tout comme le comportement global d’un espace riemannien est obtenu en recollant les comportements locaux de ses espaces tangents, un maillage va être modélisé par le recollement des modèles d’éléments continus. Enfin, on complète l’analogie entre la vision continue et la vision discrète en proposant une estimation de l’erreur d’interpolation continue et une définition bien posée de l’opérateur d’interpolation linéaire continu. La définition de cet interpolé repose sur une propriété d’exactitude locale aboutissant à une relation d’équivalence entre l’erreur d’interpolation discrète et l’erreur d’interpolation continue. D’une part, ce nouveau cadre théorique permet de se libérer des contraintes liées à la topologie des maillages discrets. D’autre part, on dispose naturellement sur l’espace des maillages continus d’outils d’analyse puissants et bien posés qui ne sont pas définis sur l’espace des maillages discrets: calcul des variations, différentiation, optimisation, . . . Mots-clés : Maillage non structuré, maillage continu, espaces métriques riemanniens, erreur d’interpolation, interpolé linéaire. in ria -0 03 70 23 5, v er si on 1 24 M ar 2 00 9 Continuous mesh model 3